Teorema catetei

Teorema catetei - notații

Teorema catetei se enunță astfel: într-un triunghi dreptunghic lungimea unei catete este media geometrică dintre lungimea proiecției sale pe ipotenuză și lungimea ipotenuzei. $AB={\sqrt {DB\cdot BC}}$

Demonstrație

Fie $AD\perp BC,D\in BC,pr_{BC}AB=BD$

Din asemănarea triunghiurilor $\Delta ABD$ și $\Delta CBA$ rezultă proporția:

${\frac {AB}{BC}}={\frac {BD}{AB}}$, de unde:

$AB^{2}=BD\cdot BC$, deci:

$AB={\sqrt {DB\cdot BC}}$

Analog, se demonstrează și pentru cateta $AC$:

$AC^{2}=CD\cdot BC$, sau:

$AC={\sqrt {DC\cdot BC}}$

Teoremă reciprocă (1)

Dacă într-un triunghi $ABC$:

$AD\perp BC\$ și $AB^{2}=BD\cdot BC$,

rezultă că: $m(\angle BAC)=90^{o}$

Teoremă reciprocă (2)

Dacă într-un triunghi $ABC$:

$m(\angle BAC)=90^{o}$ și $AB^{2}=BD\cdot BC$

rezultă că: $\ AD\perp BC$

Bibliografie

• Dana Radu, Eugen Radu - Manual pentru clasa a VII-a
• Jacques Hadamard - Lecții de geometrie elementară. Geometrie plană, Editura Tehnică, București, 1962